Analyse Numérique avec Matlab – Cours et Exercices corrigés

Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en licence de mathématique appliquée ou en formation d’ingénieur. Son objectif est de donner au lecteur un outillui permettant de travailler de manière autonome àl’aide de questions détaillées et progressives, et d’une construction pas àpas des programmes.
Ce choix de faire de la théorie avant de commencer la programmation est indispensable pour appréhenderles notions d’analyse numérique mais aussi pour améliorer ses capacités de programmeur; la programmation demande un peud’âme… Cette préparation ne dispense pas d’uneréflexion sur la manière de programmer une méthode. Àcette fin, les exercices en Matlab proposent une programmation sous forme de poupées russes. chaque question, le programme précédentest amélioré et complété. Les résultats intermédiaires sont donnés pour valider cette programmationpar morceaux.

En fin de chapitre, les solutions complètes et les programmes sontsystématiquement donnés.
Naturellement, un livre de cours d’analyse numérique est utile en complément de cet ouvrage et la bibliographie en propose quelques-uns.

En fin de volume, deux indexpermettent d’obtenir rapidement de l’information :un index général et un indexdes commandes Matlab.Pour ce dernier,chaque mot clé aauplus trois références,même si la commande est utilisée beaucoup plus souvent.
Les premiers chapitres peuvent être considérés comme une initiation.
Le premier chapitre rappelle les commandes utiles de Matlab pour gérer des tableaux et les commandes élémentaires. Il s’agitdonc de savoir utiliser au mieux les tableaux et de s’initier aux premières  commandes du graphisme. Ces commandes nécessaires sont insuffisantes pour progresserdans la programmation et il ne faut pas hésiter àconsulter fréquemment l’aide en ligne de Matlab.
Dans les deuxième et troisième chapitres est abordée la notion centrale de l’analyse numérique les matrices. En effet, beaucoup de méthodes numériques conduisent àlarésolution d’un système linéaire. Les méthodes de résolution de système linéaire ne sont pas détaillées ici. Néanmoins les quelques exercices proposés peuvent servir de base. Plutôt que de multiplier ces exercices dans le chapitre, certains ont été placés dans d’autres chapitres ;l’indexpermet de les retrouver.Ensuite, on achoisi de privilégier la notion de conditionnement car les résolutions de systèmes linéaires peuvent conduire àdegrosses erreurs numériques. Les exercices proposés permettent de constater que le conditionnement est une notionoriginale qui n’a rien àvoir avec les notions de déterminant ou de valeur propre.
Le chapitre 4est consacré àl’interpolation ou comment faire passer une courbe par des données mesurées.Lapremière réponse est donnée par l’interpolant de Lagrange. Mais le phénomène de Rungemontre qu’en plus de passer par les points, le cahier des charges peut aussi imposer une approximation convenable pour les autres points (lorsqu’on part d’une fonction échantillonnée par exemple). Ce chapitre propose donc une étude des splines cubiques qui répond mieux àcette question.
Dans le chapitre 5, une étude d’erreur est proposée. Il s’agit d’une notion essentielleenanalyse numérique où, traditionnellement,lapremière étape est de montrer l’existence d’une solution unique àunproblème sans forcément savoir la calculer,puis, la seconde de construire un problème approché dont la solution est cettefois-ci calculable ;pour finir on majore l’erreur entre les solutions exacte et approchée. Dans certains cas particuliers, les deux solutions peuvent être calculées. L’erreur est connue exactement ;onpeut alors mesurer si la majoration est optimale.
Matlab permet ainsi d’estimer l’ordred’une méthode.
Dans le chapitre 6, nous répondons àlaquestion :comment approcher des données mesurées par une courbe ?Lanotion est différente de celle de l’interpolation et on se gardera donc de les confondre.Comme les mesures ne sont pas toujours linéaires, on verra qu’au delà de la régression linéaire,différentes bases peuvent être utilisées.
S’ajoute un chapitre,moins classique dans les cours d’analyse numérique, sur les courbes de Bézier et les polynômes de Bernstein, introduction au dessin et àlaconception assistés par ordinateur (DAO,CAO). Le cours yest proposé sous forme d’exercices.
Dans la suite, d’autres outils traditionnelsdel’analyse numérique sont abordés :méthodes pour leséquations différentielles ou méthodes élémentaires pour les équations aux dérivées partielles.
Encore unefois, la présentation est loin d’être exhaustive.Aucontraire, elle se propose de mettre en avant quelques problèmes théoriques ou numériques.
Enfin, dans le dernier chapitre, on trouvera des problèmes qui combinent souvent plusieurs des techniques proposées précédemment.
La plupartdeces exercices ont été testés par les étudiants de l’Insa de Rennes. La majorité est mêmeextraitedes sujets d’examens qu’on peut réaliser en deux heures avec un peu d’entraînement.
Je remercie mescollègues de l’INSA de Rennes qui ont participé àl’élaboration ou à la correction d’une bonne partie de ces exercices.

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