Systèmes linéaires continus invariants ANALYSE FREQUENTIELLE partie 3

Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS

INVARIANTS

ANALYSE FREQUENTIELLE

3 Système du deuxième ordre.

3.1 Définition d’un système du deuxième ordre

Un système du second ordre a son compo rtement régi par une équation différentielle du deuxième ordre de la forme :

                       

ì

   

e = e (t) entréedusystème

 
                       

ï

s = s(t) réponsedusystèmeàl’entréee(t)

 

1

   

d

2

s

 

2x ds

 

ï

 
               
     

+

+ s = Ke

ï

   

K:gainstatique(>0)

 
                   

í

     
 

w02

dt 2

w0

 

dt

     
       

ïx :coefficient d’amortissement (sans dimension) (>0)

 
                       

ï

w

 

pulsationpropredusystème(enrads-1 )

 
                       

ï

0

 
                       

î

     

 

     

 

 

3.2 Fonction de transfert globale d’un deuxième ordre

On applique la transformée de Laplace à l’ensemble de l’équation différentielle ci-dessus, avec des conditions initiales nulles :

Donc :

                     
 

1 d 2 s

+

2x ds

+ s = Ke transforméedeLaplace

p2

S ( p) +

2x

pS( p) + S ( p) = KE ( p)

 
                     
 

w2 dt 2

w

   

dt

 

w

 
   

0

 

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru w 2

     

0

             

0

 

0

   

On peut alors présenter le rapport de la sortie S(p) sur l’entrée E(p), c’est à dire la fonction de

transfert globale du système :

H ( p) =

S( p)

=

   

K

       
   

2x

 

p2

     
   

E ( p)

1+

p +

     
       

w0

   
           

w0

2

     

On notera :

  • Le gain statique vaut : K=H(0)
  • Pour identifier les caractéristiques d’un système du deuxième ordre (c’est à dire

K , x et w0 ), on veillera bien à présenter la fonction de transfert globale H(p) avec le coefficient en p0 du polynôme au dénominateur égal à 1. Ainsi le numérateur peut être identifié au gain statique K, coefficient en p2 du polynôme au dénominateur peut être identifié à l’inverse de la pulsation proprew0 et on déduit l’amortissement du

coefficient en p1 : 2x .

w0

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ANALYSE FREQUENTIELLE

3.3 Gain et phase réels d’un deuxième ordre

H ( jw) =

   

K

   

=

       

K

     
   

( jw )

2

       

2

ö

       
   

2x

   

æ

w

+ j

2xw

   

1+

jw +

 

ç1

 

÷

 

w0

w0 2

   

2

w0

 
       

è

 

w 0

ø

   

Calcul du gain :

 

H ( jw)

 

=

         

K

       

soit en dB :

   

H ( jw )

       

dB = 20Log

     

H ( jw)

                 
                                                         
                                                           
                                 
           

2

               

æ

   

w2

4x 2w 2

                       
                                           
   

ö

                                                                                     

ç

1-

 

÷ +

                                                                                                 

w 2

w2

                                                                                             

è

0

ø

0

                                                                                             
                           

æ

   

w 2 ö2

       

4x 2 w2

                                       
   

H ( jw)

dB

= 20LogK – 20Log ç1

       

÷

+

                                                                 
   

2

           

2

                                                   
                         

è

   

w0

ø

           

w0

                                                   

Existence d’une résonance :

                                                                                       

Il existe une résonance si il existe une pulsation wr

 

dite pulsation de résonance pour laquelle

 
                                                                                                     
                                         

æ

     

w 2 ö

2

     

4x 2 w2

                               

le gain

 

H ( jw)

dB = 20LogK – 20Log

ç1

         

÷

+

                   

présente un maximum.

   
       

2

               

2

       
                                         

è

     

w0

ø

     

2

       

w0

                               
                                                                                           

Le gain est maximum si la fonction de w :

æ

           

w2 ö

         

4x 2 w2

                   

ç

1-

       

÷

+

   

est minimale :

     
   

2

 

2

       

è

w0

ø

w0

 

Etude de cette fonction : Posons x =

w2

                                         

æ

w 2 ö

2

4x 2 w2

 
   

, alors la fonction :

f (w ) = ç 1-

 

÷

+

 

est

 
 

2

2

2

 
                                     

w0

                                                 

è

w 0

ø

 

w0

   

minimale si la fonction : g( x) = (1- x)2 + 4x 2 x = 1+ (4x2

– 2)x + x2 est minimale .

   

word image 147 word image 148

g¢( x) = 4x 2 – 2 + 2x , donc on a un extremum pour x telque g ¢(x) = 0 , c’est à dire pour

  1. = 1- 2x 2 .
           

Donc la pulsation pour laquelle on a résonance est :

w = w

0

1 – 2x 2

 
 

r

     

word image 149

Remarque : On voit donc bien que la résonance ne peut exister que dans certains cas d’amortissement (terme sous la racine positif).

word image 150

On a résonance pour des valeurs d’amortissement : x < 2 2

Quantification de la résonance : facteur de surtension Q

Le facteur de surtension exprimé en dB est la différence entre la valeur du pic de résonance et le gain statique : QdB = word image 151 word image 152 H ( jwr ) word image 153 word image 154dB – 20LogK

word image 155

           

æ

 

w2

ö

2

4x 2w 2

 

Q

=

H ( jw

)

 

– 20LogK = -20Log

1

r

 

+

r

 
         

dB

 

r

 

dB

 

ç

 

2

÷

 

2

 
               
           

è

 

w0

ø

 

w0

 

word image 156

QdB = -20Log (1 – (1- 2x 2 ))2

+ 4x 2 (1- 2x 2 )

         

(

     

)

 

Q = -20Log

4x 4 + 4x 2 -8x 4 = -20Log 4x 2 – 4x 4 = – 20Log

2x

1- x 2

 

dB

                   

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word image 157

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ANALYSE FREQUENTIELLE

D’où le résultat final :

QdB

= 20Log

 

1

 

Or Q est tel que

QdB

= 20L o g Q

, donc :

 
         

(2x

1 –x 2 )

 
                       

Q =

1

                         

(2 x

1- x 2

)

                       

word image 158 word image 159

Calcul de la phase :

  • (w ) = Arg [ H ( jw)]

K

K

é æ

w 2 ö

2xw ù

 

H ( jw) =

   

=

   

ê ç1

   

÷j

 

ú , donc :

   

æ

w 2 ö

2xw

2

ö

2

2

2

w

2

w

   
 

ç1

 

÷ +

j

   

æ1-

w

   

+

   

4x

w

 

ë è

0

ø

0

û

       
   

2

               
       

w0

w

 

÷

   

w

   

è

w0

ø

ç

2

 

2

 

è

0

ø

0

 

é æ

w2 ö

2xw ù

 

j (w ) = Arg [H( jw) ] = Arg ê ç 1

     

÷j

   

ú

   

2

   

w0

                                                                                           

ë è

w0

ø

û

 
 

ææ

 

 

w 2

ö

   

j

   

2xw ö

                             

ææ

1 –

w2

ö

j

2xw ö

           

æ æ

1-

w2

ö

j

2xw ö

 
 

Im ç 1

         

÷

 

Re ç

         

÷

 

Im ç

       

÷

 
   

2

÷

     

ç

 

2

÷

   

ç

 

2

 

÷

   

çç

÷

ç

 

÷

ç

   

÷

 

tan j =

èè

       

w0

ø

                     

w0 ø

;cosj =

       

è

è

       

w0

ø

       

w0 ø

;sin j =

 

è

è

     

w 0

ø

   

w0 ø

 

æ æ

 

   

w2

ö

   

j

 

2xw ö

       

æ

   

w 2

ö

j

2xw

             

æ

1-

 

w2

ö

j

2xw

     
                                                                         
 

Re ç 1

         

÷

   

1

                           
   

w2

÷

   

w

     

w 2

÷

 

w

     

ç

 

w 2

÷

w

     

ç ç

 

÷

ç

 

0

         

0

     

è è

0

ø

0 ø

è

0

ø

     

è

0

ø

     
   
 

– 2xw

æ1-

w 2

ö

     

-2xw

     
                             
   

w0

 

ç

2

÷

     

w0

     

Donc :

tan j =

       

;cosj =

 

è

w0

ø

;sinj =

         

æ

 

w

2

ö

                   
         

2

2

 

2

 

2

     

æ1 –

 

2

 

ö +

 

2 2

   
                                 
   

ç

1-

   

÷

æ

1-

w

ö

+

4x w

     

w

4x w

     
   

2

               

2

         
   

è

 

w0 ø

 

ç

w 2

÷

   

w2

     

ç

÷

2

   
                   

è

w0

ø

w0

   
 

è

0

ø

0

           
 

é

2xw

ù

 
   

ê

     

ú

   
     

w0

     

j (w) = – arctan ê

     

ú

   
 

w2

     
 

ê æ

 

öú

 
   

ê

ç 1

     

÷ú

   
   

2

   
 

ê

è

w0

ú

 
 

ë

øû

 

word image 160

3.4 Asymptotes des diagrammes de Bode

Deux méthodes sont possibles pour déterminer les asymptotes des diagrammes de Bode : Soit on détermine les équivalents en 0 et en +¥ du gain réel et de la phase réelle, soit on cherche des équivalents directement sur la fonction de transfert.

1ère méthode : équivalents à partir des fonctions de gain et de phase réels.

Asymptote sur le diagramme de gain :

                         
     

æ

 

w 2

ö

2

4x 2 w2

     
 

H ( jw)

dB = 20LogK – 20Log

ç1

 

÷

+

   

est la fonction du gain (en dB) réelle

 
 

2

2

   
     

è

 

w0

ø

 

w0

 

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ANALYSE FREQUENTIELLE

Ø équivalent lorsque w ® 0 : on peut négliger les termes en w 2 et w4

devant1.Donc :

         
 

H ( jw)

; 20LogK

, c’est une droite horizontale d’ordonnée

20LogK dB.

   

{

   
   

dB w ® 0

   
  • équivalent lorsque w ® ¥ : on peut négliger le terme en

word image 162

         

H ( jw)

     

;

20LogK – 20Log

w4

     
                 
                       
                   

{

 

4

     

1et w 2 devant celuien w4 .Donc :

       

dB w ® ¥

 

w0

,

 
                 

;

20LogK + 20Logw2 – 20Logw2

   
                 

{

 

0

       
                   

w ® ¥

           

soit, mis en forme différemment pour faire clairement apparaître la pente de la droite :

   
 

H ( jw)

; 20 LogK + 40Logw

0

       

-40

Logw

c’est une

   
   

{

             

{

           
   

dB w ® ¥

     

pente d e l a d r o iteasymptote

Logw0 ) .

   

droite de pente -40 dB

décade

passant par le point (w = 1;

20LogK + 40

   
                                 

word image 163

Intersection entre les deux asymptotes :

On cherche la pulsation dite pulsation propre du système notée w p pour laquelle les deux asymptotes ont des valeurs égales. L’équation permettant de déterminer w p est donc :

20LogK = 20LogK + 40Logw 0 – 40Logw p .

Soit 40Logw p = 40Logw0 ; d’où :w p = w0

Asymptote sur le diagramme de phase :

La fonction de phase réelle est définie par

     

– 2xw

                       

æ1-

w 2

ö

       

-2xw

     
                                                               
     

w0

                         

ç

   

2

÷

         

w0

     

tan j =

         

;cosj =

       

è

   

w0

ø

;sinj =

             
       

2

                                             

æ

   

w

ö

                       

2

 

2

2 2

æ1 –

   

2

 

ö

   

2 2

   
                                               

ç

1-

   

÷

           

æ

1

w

 

ö

+

4x w

w

   

+

 

4x w

   
 

2

                           

2

 

÷

 

2

   

è

   

w0 ø

         

ç

w 2

÷

w2

ç

             
                   

è

w0

ø

   

w0

   
                         

è

     

0

ø

 

0

                         
           

é

   

2xw

ù

                                         
           

ê

         

ú

                                         
               

w0

                                         

j (w) = – arctan

ê

     

ú

                                         
     

w2

                                           
           

ê æ

 

öú

                                         
           

ê

ç 1

 

÷ú

                                         
           

2

                                         
           

ê

è

   

w0

ú

                                         
           

ë

       

øû

                                         

Ø équivalent lorsque w ® 0 : tan j ® 0

; cosj ® 1

;

 

sin j ® 0 .Donc,

 
                                           

{

{

             

{

   
                                           

w®0

   

w ®0

             

w®0

 

j (w)

 

»

   

0° on a une asymptote horizontale à 0°

                   
           

{

                                                       

word image 164

w ® 0

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ANALYSE FREQUENTIELLE

Ø équivalent lorsque w ® ¥ : tan j ® 0 ; cosj ® – 1 ; sinj ® 0 .Donc,

{ { {

w®¥ w ®¥ w®¥

j(w ) » –p (- 180°) (car le cosinus tend vers -1 et le sinus vers 0 par valeurs

{

  • ® ¥

négatives) on a une asymptote horizontale à -180°

 

æ

ö

 

(

 

= – arctan (+¥) = –

p

(- 90°)

   

Comme

j ç w

÷

= j

w

2

, on relie les deux asymptotes qui

 
 

è

p ø

 

0 )

       

sont normalement parallèles (puisque toutes les deux horizontales) au niveau de la pulsation propre du système w p = w0 .

2ème méthode : équivalents à partir de la fonction de transfert :

A

On cherche des équivalents de la fonction de transfert de la forme

pn

Fonction de transfert équivalente pour w ® 0 , c’est à dire pour p ® 0 (puisque p = jw )

H ( p) =

     

K

     

équivalent à

K

soit

K

 
   

2x

   

p2

 

1

0

   
         

14243

     
 

1+

   

p +

     

quand p ® 0

   

p

 
   

w

2

           
     

w

   

0

             
 

0

                   
  • On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 20LogK pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)
  • On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 0° pour la courbe de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

Fonction de transfert équivalente pour w ® ¥ , c’est à dire pour p ® ¥ (puisque p = jw )

H ( p) =

   

K

   

équivalentà

K w02

 
         

2

   

2

   

1+

2x

 

p +

p

14243

p

   
     

quand p ® ¥

     

w 0

   

2

       
       

w0

           
  • On retrouve donc l’asymptote de pente -40dB/décade pour w ® ¥ à

20LogKw02 – (20 ´ 2) Logw = 20LogK + 40Logw0 – 40Logw pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

ü On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® ¥ à –p (- 180°) pour la courbe de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

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Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

Graphiquement cela donne les diagrammes asymptotiques schématiques suivants :

Systèmes linéaires continus invariants

20LogK

H

dB

(w)

Pente : -40 dB / décade

 
   
           
         

Ecart de 40dB

 
         

w

 
 

w p = w0

1 décade

10w0

 
  • (w )

word image 166

w p

= w0

 
   

w

-180°

3.5 Diagrammes de Bode d’un deuxième ordre

H dB (w)

Asymptote horizontale à

20LogK

1 décade

Asymptote de pente -40 dB /décade et d’équation

20LogK + 40Logw 0 – 40Logw

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =0,1 et w0 = 10rads-1) Avec résonance : x = 0,1 Þ QdB ; 14dB

word image 167

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =0,5 et w0 = 10rads-1).Avec résonance : x = 0,5 Þ QdB =1,25dB

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =0,9 et w0 = 10rads-1) sans résonance

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =2 et w0 = 10rads-1) sans résonance

w (rad s-1 )

Pulsation propre w0

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Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

j (w ) ici

en degré

Asymptote horizontale à 0°

p

j (w0 ) = -arctan ¥ = – = -90°

-180°

Phase du deuxième ordre (K=10 , x =0,1 et w0 = 10rads-1)

word image 168

Phase du deuxième ordre (K=10 ,

  • =0,5 et w0 = 10rads-1).

Phase du deuxième ordre (K=10 ,

  • =0,9 et w0 = 10rads-1)

Phase du deuxième ordre

(K=10 , x =2 et w0 = 10rads-1)

w (rad s-1 )

Asymptote horizontale à -180°

  1. Construction des courbes de Bode asymptotiques d’un système de fonction de transfert quelconque.

4.1 Diagrammes de Bode de l’inverse d’une fonction de transfert

Considérons un système de fonction de transfert H ( p ) =

1

avec

H 1( p) une fonction de

 
   

H 1 ( p )

 

transfert dont on connaît les diagrammes de Bode.

       
         

Peut on déduire les diagrammes de Bode de H ( p) connaissant ceux de H 1( p) ?

 

On pose j (w ) et H dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de

H ( p)

 

On pose j1 (w ) et H1dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de

H 1( p)

 

On cherche donc à trouver une relation entre j (w ) et j1 (w ) , puis entre

H dB (w) et H1dB (w)

 

jj (w )

On peut écrire le complexe H ( jw) sous sa forme exponentielle : H ( jw ) = H ( jw) e

jj (w )

On peut écrire le complexe H 1( jw) sous sa forme exponentielle : H1 ( jw ) = H1 ( jw) e 1

Donc

     

H ( jw)

     

e jj (w ) =

     

1

           

=

 

1

   

e jj 1 (w ) .

   
                       
                     

e

jj1 (w )

 

H1 ( jw)

       
             

H1 ( jw)

           
                         

1

                         
                                             
                                                                 

D’où :

   

H ( jw)

 

=

       

et

j (w) = –j1 (w ) soit encore :

   
                 
                   
       

H 1 ( jw)

     

H dB (w ) = 20Log

     

æ

         

1

     

ö

         

= –H1db (w )

 
                                       
 

H( jw)

 

= 20Log ç

                 

÷ = -20Log

 

H1 ( jw )

 
                       
                                   

ç

       

H

( jw)

   

÷

             
                                   

è

       

1

       

ø

         

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Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

Finalement : ìïíH dB (w ) = –H1 dB (w )

ïî j (w ) = –j1 (w )

Ce qui revient graphiquement à effectuer la symétrie de la courbe de gain par rapport à l’axe 0dB et la symétrie de la courbe de phase par rapport à l’axe 0°.

Application : Voit TD

4.2 Diagrammes de Bode d’un produit de fonctions de transfert

Diagrammes de Bode d’un produit de deux fonctions de transfert :

Considérons un système de fonction de transfert H ( p) = H1 ( p)H 2 ( p) avec H 1( p) et H 2 ( p) deux fonctions de transfert dont on connaît les diagrammes de Bode.

On pose j (w ) et H dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de H ( p)

On pose j1 (w ) et H1dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de H 1( p)

On pose j 2 (w) et H 2 dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de H 2 ( p)

Peut on déduire les diagrammes de Bode de H ( p) connaissant ceux de H 1( p) et H 2 ( p) ?

jj (w )

On peut écrire le complexe H ( jw) sous sa forme exponentielle : H ( jw ) = H ( jw) e

jj (w )

jj (w )

On peut écrire le complexe H 2 ( jw) sous sa forme exponentielle : H 2 ( jw ) = H 2 ( jw) e 2

H ( jw) = H1 ( jw )H 2 ( jw) soit :

word image 169 word image 170 H ( jw ) word image 171 word image 172 e jj (w ) = word image 173 word image 174 H1 ( jw ) word image 175 word image 176 e jj1 (w ) word image 177 word image 178 H 2 ( jw ) word image 179 word image 180 e jj 2 (w )

j éj (w ) +j (w

= H1 ( jw ) H 2 ( jw ) e ë 1 2 û

Donc : word image 181 word image 182 H ( jw ) word image 183 word image 184 = word image 185 word image 186 H1 ( jw ) word image 187 word image 188 word image 189 word image 190 H 2 ( jw ) word image 191 word image 192 et j (w) = j1 (w)+ j 2 (w) , soit :

H dB (w ) = 20Log word image 193 word image 194 H ( jw ) word image 195 word image 196 = 20Log éë word image 197 word image 198 H1 ( jw ) word image 199 word image 200 word image 201 word image 202 H 2 ( jw ) word image 203 word image 204ùû

  • 20Log word image 205 word image 206 H1 ( jw ) word image 207 word image 208 + 20Log word image 209 word image 210 H2 ( jw ) word image 211 word image 212 = H1 dB (w ) + H2 dB (w )

Finalement :

ìH

dB (

w

)

= H

w

H

2 dB (

w

)

 

íï

   

1 dB ( )

     
 

ï j (w ) = j1 (w ) +j 2 (w )

     
 

î

                   

Ce qui revient graphiquement à « sommer » les deux courbes de gain en dB et les deux courbes de phase.

Application : Voir TD

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Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

4. 3 Diagrammes de Bode d’un système de fonction de transfert quelconque

Le but est d’écrire cette fonction de transfert quelconque sous forme d’un produit de fonction de transfert connues (1er ordre, 2ème ordre, intégrateur ou dérivateur simple ou multiple :

K

H ( p) = pa ) pour pouvoir ensuite « sommer » les courbes connues.

On obtiendra ainsi un maximum d’équivalents successifs intermédiaires pour les diagrammes de Bode asymptotiques qui s’approche donc ainsi un peu plus du diagramme réel

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