Systèmes linéaires continus invariants analyse frequentielle partie3

Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS

INVARIANTS

ANALYSE FREQUENTIELLE

3 Système du deuxième ordre.

3.1 Définition d’un système du deuxième ordre

Un système du second ordre a son compo rtement régi par une équation différentielle du deuxième ordre de la forme :

e = e (t) entréedusystème

s = s(t) réponsedusystèmeàl’entréee(t)

2x ds

+ s = Ke

K:gainstatique(>0)

w₀²

dt ²

w₀

^ïx :coefficient d’amortissement (sans dimension) (>0)

pulsationpropredusystème(enrads^-1 )

3.2 Fonction de transfert globale d’un deuxième ordre

On applique la transformée de Laplace à l’ensemble de l’équation différentielle ci-dessus, avec des conditions initiales nulles :

Donc :

1 d ² s

2x ds

+ s = Ke transforméedeLaplace

p²

S ( p) +

pS( p) + S ( p) = KE ( p)

w² dt ²

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru _w 2

On peut alors présenter le rapport de la sortie S(p) sur l’entrée E(p), c’est à dire la fonction de

transfert globale du système :	H ( p) =	S( p)	=			K
transfert globale du système :	H ( p) =		=		2x		p²
		E ( p)		1+	2x	p +	p²
				1+	w₀	p +
					w₀		w₀	2

On notera :

Le gain statique vaut : K=H(0)
Pour identifier les caractéristiques d’un système du deuxième ordre (c’est à dire

K , x et w₀ ), on veillera bien à présenter la fonction de transfert globale H(p) avec le coefficient en p⁰ du polynôme au dénominateur égal à 1. Ainsi le numérateur peut être identifié au gain statique K, coefficient en p² du polynôme au dénominateur peut être identifié à l’inverse de la pulsation proprew₀ et on déduit l’amortissement du

coefficient en p¹ : ²^x .

w₀

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ANALYSE FREQUENTIELLE

3.3 Gain et phase réels d’un deuxième ordre

H ( jw) =

( jw )

–

+ j

2xw

jw +

ç¹

w₀

w₀ ²

w₀

w ₀

Calcul du gain :

H ( jw)

soit en dB :

H ( jw )

_dB = 20Log

H ( jw)

w²

4x ²w ²

÷ ⁺

w ²

w²

_w 2 _ö²

4x ² w²

H ( jw)

= 20LogK – 20Log _ç1

–

w₀

Existence d’une résonance :

Il existe une résonance si il existe une pulsation w_r

dite pulsation de résonance pour laquelle

w ² ö

4x ² w²

le gain

H ( jw)

_dB = 20LogK – 20Log

ç¹

–

présente un maximum.

w₀

Le gain est maximum si la fonction de w :

w² ö

4x ² w²

est minimale :

w₀

Etude de cette fonction : Posons x =

w²

w ² ö

4x ² w²

, alors la fonction :

f (w ) = _ç 1-

est

w₀

w ₀

w₀

minimale si la fonction : g( x) = (1- x)² + 4x ² x = 1+ (4x²

– 2)x + x² est minimale .

g¢( x) = 4x ² – 2 + 2x , donc on a un extremum pour x telque g ¢(x) = 0 , c’est à dire pour

= 1- 2x ² .


Donc la pulsation pour laquelle on a résonance est :	w = w	0	1 – 2x ²
	r	0

Remarque : On voit donc bien que la résonance ne peut exister que dans certains cas d’amortissement (terme sous la racine positif).

On a résonance pour des valeurs d’amortissement : x < ² 2

Quantification de la résonance : facteur de surtension Q

Le facteur de surtension exprimé en dB est la différence entre la valeur du pic de résonance et le gain statique : Q_dB = H ( jw_r ) _dB– 20LogK

w²

4x ²w ²

H ( jw

)

– 20LogK = -20Log

–

w₀

Q_dB = -20Log (1 – (1- 2x ² ))²

+ 4x ² (1- 2x ² )

			(				)
Q = -20Log	4x ⁴ + 4x ² -8x ⁴ = -20Log 4x ² – 4x ⁴ = – 20Log		(	2x	1- x ²		)
dB
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ANALYSE FREQUENTIELLE

D’où le résultat final :

^QdB

= 20Log

Or Q est tel que

^QdB

= 20L o g Q

, donc :

(2x

1 –x ² )

Q =

(2 x

1- x ²

)

Calcul de la phase :

(w ) = Arg [ H ( jw)]

é æ

w ² ö

2xw ^ù

H ( jw) =

ê ç¹ ^–

_÷ – j

_ú , donc :

w ² ö

2xw

ç¹

–

÷ ⁺

^æ1-

ë è

w₀

é æ

w² ö

2xw ù

j (w ) = Arg [H( jw) ] = Arg ê _ç 1

–

_÷ – j

w₀

ë è

w₀

ææ

–

w ²

– j

2xw ö

ææ

1 –

w²

– j

2xw ö

æ æ

w²

– j

2xw ö

Im ç 1

Re ç

Im ç

ç^ç

tan j =

èè

w₀

^w0 ø

;cosj =

w₀

^w0 ø

;sin j =

w ₀

^w0 ø

æ æ

–

w²

– j

2xw ö

–

w ²

– j

2xw

w²

– j

2xw

Re ç 1

w²

w ²

ç ^ç

è è

0 ø

– 2xw

^æ1-

w ²

-2xw

w₀

Donc :

tan j =

;cosj =

w₀

;sinj =

^æ1 –

ö ₊

2 2

4x w

^w0 ø

w ²

w²

w₀

2xw

w₀

j (w) = – arctan ^ê

w²

ê _æ

–

ö^ú

ç ¹

÷ú

w₀

øû

3.4 Asymptotes des diagrammes de Bode

Deux méthodes sont possibles pour déterminer les asymptotes des diagrammes de Bode : Soit on détermine les équivalents en 0 et en +¥ du gain réel et de la phase réelle, soit on cherche des équivalents directement sur la fonction de transfert.

1^ère méthode : équivalents à partir des fonctions de gain et de phase réels.

Asymptote sur le diagramme de gain :

w ²

4x ² w²

H ( jw)

_dB = 20LogK – 20Log

ç¹

–

est la fonction du gain (en dB) réelle

w₀

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Ø équivalent lorsque w ® 0 : on peut négliger les termes en w ² et w⁴				devant1.Donc :

	H ( jw)	; 20LogK	, c’est une droite horizontale d’ordonnée	20LogK dB.
		{
		^dB w ® 0

équivalent lorsque w ® ¥ : on peut négliger le terme en

H ( jw)

;

20LogK – 20Log

w⁴

{

1et w ² devant celuien w⁴ .Donc :

^dB w ® ¥

w₀

;

20LogK + 20Logw² – 20Logw²

{

w ® ¥

soit, mis en forme différemment pour faire clairement apparaître la pente de la droite :

H ( jw)

; 20 LogK + 40Logw

-40

Logw

c’est une

{

^dB w ® ¥

pente d e l a d r o iteasymptote

Logw₀ ) .

droite de pente -40 ^dB

décade

passant par le point (w = 1;

20LogK + 40

Intersection entre les deux asymptotes :

On cherche la pulsation dite pulsation propre du système notée w _p pour laquelle les deux asymptotes ont des valeurs égales. L’équation permettant de déterminer w _p est donc :

20LogK = 20LogK + 40Logw ₀ – 40Logw _p .

Soit 40Logw _p = 40Logw₀ ; d’où :w _p = w₀

Asymptote sur le diagramme de phase :

La fonction de phase réelle est définie par

– 2xw

^æ1-

w ²

-2xw

w₀

tan j =

;cosj =

w₀

;sinj =

2 2

^æ1 –

2 2

–

4x w

^w0 ø

w ²

w²

w₀

2xw

w₀

j (w) = – arctan

w²

ê _æ

–

ö^ú

ç ¹

÷ú

w₀

øû

Ø équivalent lorsque w ® 0 : tan j ® 0

; cosj ® 1

;

sin j ® 0 .Donc,

{

w®0

w ®0

w®0

j (w)

0° on a une asymptote horizontale à 0°

{

w ® 0

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Ø équivalent lorsque w ® ¥ : tan j ® 0 ; cosj ® – 1 ; sinj ® 0^– .Donc,

{ { {

w®¥ w ®¥ w®¥

j(w ) » –p (- 180°) (car le cosinus tend vers -1 et le sinus vers 0 par valeurs

{

® ¥

négatives) on a une asymptote horizontale à -180°

	æ	ö		(		= – arctan (+¥) = –	p	(- 90°)
Comme	j ç w	÷	= j		w	= – arctan (+¥) = –	2	(- 90°)	, on relie les deux asymptotes qui
	è	p _ø			0 ⁾		2

sont normalement parallèles (puisque toutes les deux horizontales) au niveau de la pulsation propre du système w _p = w₀ .

2^ème méthode : équivalents à partir de la fonction de transfert :

On cherche des équivalents de la fonction de transfert de la forme

pⁿ

Fonction de transfert équivalente pour w ® 0 , c’est à dire pour p ® 0 (puisque p = jw )

H ( p) =

équivalent à

soit

p²

14243

p +

quand p ® 0

On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 20LogK pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)
On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 0° pour la courbe de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

Fonction de transfert équivalente pour w ® ¥ , c’est à dire pour p ® ¥ (puisque p = jw )

H ( p) =

équivalentà

K w₀²

p +

14243

quand p ® ¥

w ₀

w₀

On retrouve donc l’asymptote de pente -40dB/décade pour w ® ¥ à

20LogKw₀² – (20 ´ 2) Logw = 20LogK + 40Logw₀ – 40Logw pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

ü On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® ¥ à –p (- 180°) pour la courbe de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

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ANALYSE FREQUENTIELLE

Graphiquement cela donne les diagrammes asymptotiques schématiques suivants :

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20LogK	H	dB	(w)	*Pente :* -40 dB / décade
	H		(w)	*Pente :* -40 dB / décade

					*Ecart de 40dB*
					w
	w _p = w₀			*1 décade*	10w₀

(w )

0°	w _p	= w₀

-180°

3.5 Diagrammes de Bode d’un deuxième ordre

H _dB (w)

Asymptote horizontale à

20LogK

1 décade

Asymptote de pente -40 dB /décade et d’équation

20LogK + 40Logw ₀ – 40Logw

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =0,1 et w₀ = 10rads^-1) Avec résonance : x = 0,1 Þ Q_dB ; 14dB

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =0,5 et w₀ = 10rads^-1).Avec résonance : x = 0,5 Þ Q_dB =1,25dB

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =0,9 et w₀ = 10rads^-1) sans résonance

Gain du deuxième ordre (K=10 , x =2 et w₀ = 10rads^-1) sans résonance

w (rad s^-1 )

Pulsation propre w₀

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j (w ) ici

en degré

Asymptote horizontale à 0°

j (w₀ ) = -arctan ¥ = – = -90°

-180°

Phase du deuxième ordre (K=10 , x =0,1 et w₀ = 10rads^-1)

Phase du deuxième ordre (K=10 ,

=0,5 et w₀ = 10rads^-1).

Phase du deuxième ordre (K=10 ,

=0,9 et w₀ = 10rads^-1)

Phase du deuxième ordre

(K=10 , x =2 et w₀ = 10rads^-1)

w (rad s^-1 )

Asymptote horizontale à -180°

Construction des courbes de Bode asymptotiques d’un système de fonction de transfert quelconque.

4.1 Diagrammes de Bode de l’inverse d’une fonction de transfert

Considérons un système de fonction de transfert H ( p ) =	1	avec	H ₁( p) une fonction de

	H ₁ ( p )
transfert dont on connaît les diagrammes de Bode.

Peut on déduire les diagrammes de Bode de H ( p) connaissant ceux de H ₁( p) ?
On pose j (w ) et H _dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de			H ( p)
On pose j₁ (w ) et H₁_dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de				H ₁( p)
On cherche donc à trouver une relation entre j (w ) et j₁ (w ) , puis entre				H _dB (w) et H₁_dB (w)

^jj⁽^w⁾

On peut écrire le complexe H ( jw) sous sa forme exponentielle : H ( jw ) = H ( jw) e

^jj⁽^w⁾

On peut écrire le complexe H ₁( jw) sous sa forme exponentielle : H₁ ( jw ) = H₁ ( jw) e ¹

Donc

H ( jw)

_e jj (w ) ₌

_e^– ^jj 1 (^w ) _.

jj₁ (w )

H₁ ( jw)

D’où :

H ( jw)

j (w) = –j₁ (w ) soit encore :

H ₁ ( jw)

H _dB (w ) = 20Log

= –H₁_db (w )

H( jw)

= 20Log ç

÷ = -20Log

H₁ ( jw )

( jw)

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_{Finalement :} ^ìï_í^H dB (^w ) ^{= –}^H1 dB (^w )

ï_î j (w ) = –j₁ (w )

Ce qui revient graphiquement à effectuer la symétrie de la courbe de gain par rapport à l’axe 0dB et la symétrie de la courbe de phase par rapport à l’axe 0°.

Application : Voit TD

4.2 Diagrammes de Bode d’un produit de fonctions de transfert

Diagrammes de Bode d’un produit de deux fonctions de transfert :

Considérons un système de fonction de transfert H ( p) = H₁ ( p)H ₂ ( p) avec H ₁( p) et H ₂ ( p) deux fonctions de transfert dont on connaît les diagrammes de Bode.

On pose j (w ) et H _dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de H ( p)

On pose j₁ (w ) et H₁_dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de H ₁( p)

On pose j ₂ (w) et H ₂ _dB (w) respectivement la phase et le gain en dB de H ₂ ( p)

Peut on déduire les diagrammes de Bode de H ( p) connaissant ceux de H ₁( p) et H ₂ ( p) ?

^jj⁽^w⁾

On peut écrire le complexe H ( jw) sous sa forme exponentielle : H ( jw ) = H ( jw) e

^jj⁽^w⁾

On peut écrire le complexe H ₂ ( jw) sous sa forme exponentielle : H ₂ ( jw ) = H ₂ ( jw) e ²

H ( jw) = H₁ ( jw )H ₂ ( jw) soit :

_H₍_jw₎ _e^jj (^w ) ₌ _H₁ ₍_jw₎ _e^jj1 (^w ) _H₂ ₍_jw₎ _e^jj 2 (^w )

j éj (w ) +j (w )ù

= H₁ ( jw ) H ₂ ( jw ) e ^ë ¹ ² ^û

Donc : H ( jw ) = H₁ ( jw ) H ₂ ( jw ) et j (w) = j₁ (w)+ j ₂ (w) , soit :

H _dB (w ) = 20Log H ( jw ) = 20Log ^é_ë H₁ ( jw ) H ₂ ( jw ) ^ù_û

20Log H₁ ( jw ) + 20Log H₂ ( jw ) = H₁ _dB (w ) + H₂ _dB (w )

Finalement :	ìH	dB (	w	)	= H	w	H	2 dB (	w	)
Finalement :	í^ï	dB (		)		1 dB ( )		2 dB (		)
	ï j (w ) = j₁ (w ) +j ₂ (w )
	î

Ce qui revient graphiquement à « sommer » les deux courbes de gain en dB et les deux courbes de phase.

Application : Voir TD

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4. 3 Diagrammes de Bode d’un système de fonction de transfert quelconque

Le but est d’écrire cette fonction de transfert quelconque sous forme d’un produit de fonction de transfert connues (1^er ordre, 2^ème ordre, intégrateur ou dérivateur simple ou multiple :

H ( p) = _pa ) pour pouvoir ensuite « sommer » les courbes connues.

On obtiendra ainsi un maximum d’équivalents successifs intermédiaires pour les diagrammes de Bode asymptotiques qui s’approche donc ainsi un peu plus du diagramme réel

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