Les Réseaux de Petri

Université Cadi Ayyad

Ecole Normale Supérieure de Marrakech

Plan

Notions de base

RdP  Particuliers

Graphe de marquages

Algébre Linéaire

Introduction aux Réseaux de Petri

Les Réseaux de Petri (RdP) permettent de modéliser des systèmes séquentiels. Ils ont été inventés par Carl Adam Petri, un mathématicien Allemand contemporain (d’où l’absence d’accent dans Petri).

      Il a défini un outil mathématique très général permettant de décrire les relations existant entre des conditions et des événements et de modéliser le comportement de systèmes dynamiques à événements discrets.

        Ces RdP datent de 1960-1962. C’est un outil très général, modélisant aussi bien les protocoles de communication informatiques que des systèmes de production.

Le Marquage

     Chaque place contient un nombre entier positif ou nul de marques ou jetons. Le marquage M définit l’état du système décrit par le réseau à un instant donné.

     C’est un vecteur colonne de dimension le nombre de places dans le réseau.

     Le iéme élément du vecteur correspond au nombre de jetons contenus dans la place Pi.

Exemple:

Franchissement d’une transition

      Une transition est franchissable lorsque toutes les places qui lui sont en amont (ou toutes les places d’entrée de la transition) contiennent au moins un jeton.

Exemple:

Franchissement d'une transition

Le franchissement consiste à retirer un jeton de chacune des places d’entrée et à rajouter un jeton à chacune des places de sortie de la même transition.

Le franchissement consiste à retirer un jeton de chacune des places d'entrée et à rajouter un jeton à chacune des places de sortie de la même transition.

Transition source:

    Une transition sans place d’entrée.

Transition source

Transition puits:

Une transition sans place de sortie.

Transition puits

Séquence de franchissement

Une séquence de franchissement S est une suite de transitions Ti Tj…Tk qui peuvent être franchies successivement à partir d’un marquage donné. Une seule transition peut être franchie à la fois.

On note :    :   

   ou   

à partir du marquage Mi , le franchissement de la séquence S aboutit au marquage Mj.

Exemple:

le franchissement de la séquence

T1T2 et T1T3 sont deux séquences de franchissement:

Marquages accessibles:

     L’ensemble des marquages accessibles est l’ensemble des marquages Mi qui peuvent être atteint par le franchissement d’une séquence S à partir du marquage initial M0.

On le note *M0.

Exemple:

Marquages accessibles

RdP autonome et non autonome

      Un RdP autonome décrit le fonctionnement d’un système dont les instants de franchissement ne sont pas connus ou indiqués.

     Un RdP non autonome décrit le fonctionnement d’un système dont l’évolution est conditionnée par des événements externes ou par le temps.

    Un RdP non autonome est synchronisé et/ou temporisé.

RdP Particuliers

1.Graphe d’état

2.Graphe d’événement

3.RdP sans conflit

4. RdP à choix libre

5.RdP simple

6.RdP pur

7.RdP généralisés

8.RdP à capacités

9.RdP à priorités

Graphe de marquages

Graphe de marquages

le graphe de marquages correspondant :

le graphe de marquages correspondant

Les propriétés:

Une place Pi est bornée pour un marquage initial M0 si pour tout marquage accessible à partir de M0 le nombre de marques dans Pi est fini.

Un RdP est borné pour un marquage initial M0 si toutes les places sont bornées pour M0.

Un RdP est sauf pour un marquage initial M0 s’il y a une marque au plus dans chaque place, pour tout marquage accessible à partir de M0.

Un RdP est vivant pour un marquage initial M0 si toutes ses transitions sont vivantes.

Un blocage est un marquage tel qu’aucune transition n’est validée.

Un RdP est dit sans blocage pour un marquage initial M0 si aucun marquage accessible n’est un blocage.

Un RdP a un état d’accueil Ma pour un marquage initial M0 si pour tout marquage accessible Mi ∈*M0,

il existe Si tel que Mi →Ma.

Un RdP est réinitialisablepour un marquage initial M0 si M0 est un état d’accueil.

Algébre Linéaire

matrice d'incidence
equation fondamentale

Telecharger PDF