systemes lineaires continus invariants analyse temporelle (partie1)

Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants

Analyse temporelle

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

ANALYSE TEMPORELLE (Partie 1)

L’étude se limite aux systèmes de bases, c’est à dire aux systèmes du premier ordre et du second ordre. En effet le comportement d’une grande partie des systèmes peut être raisonnablement assimilé au comportement d’un système du premier ou du second ordre.

On va regarder la réponse de ces systèmes à des entrées typiques (échelon et rampe). Ces réponses vont nous permettre d’évaluer un certain nombre de performances associées à ces systèmes.

La connaissance des résultats présentés dans ce chapitre est très utile pour répondre aux problèmes d’asservissement.

1 Système du premier ordre.

1.1 Définition d’un système du premier ordre

Un système du premier ordre a son comportement régi par une équation différentielle du premier ordre de la forme :

			ì	e = e(t ) entréedusystème
	ds		ï	s = s (t ) réponsedusystèmeàl’entréee(t)
s +t	= Ke	ï
	í	K:gainstatique(>0)
dt
		ï

^ï_ît :constantedetemps(>0,homogèneà untemps(seconde (s))

1.2 Fonction de transfert globale d’un premier ordre

On applique la transformée de Laplace à l’ensemble de l’équation différentielle ci-dessus, avec des conditions initiales nulles :

Rappel : La transformée de Laplace d’une fonction f(t) est une fonction de p, notée par

convention avec la lettre majuscule de la fonction du temps transformée : F(p)

Donc : s +t ^ds = Ke transforméedeLaplace S + t pS = KE

_dt uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru

On peut alors présenter le rapport de la sortie S(p) sur l’entrée E(p), c’est à dire la fonction de

transfert globale du système :	H ( p)=	S( p )	=	K
	1+t p
		E( p)

On notera :

Le gain statique vaut : K=H(0)

Pour identifier les caractéristiques d’un système du premier ordre (c’est à dire K ett ), on veillera bien à présenter la fonction de transfert globale H(p) avec le coefficient en p⁰ du polynôme au dénominateur égal à 1. Ainsi le numérateur peut être

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identifié au gain statique K et le coefficient en p¹ du polynôme au dénominateur peut être identifié à la constante de temps t

1.3 Réponse à un échelon (réponse dite indicielle)

1.3.1 Réponse dans le domaine fréquentielle (en p)

On soumet le système à une entrée échelon de taille A. L’entrée est donc la fonction du temps : e(t)= A u(t) avec u(t) l’échelon unitaire tel que u(t<0)=0 et u(t³0)=1.

e (t)

	A							Temps t


	t=0

e(t)=A u(t) donc E ( p) =	A	or H ( p) =	S( p)	=	K	Þ S ( p) =	K A
p			p (1+t p)
				E( p) 1+t p

On obtient donc très rapidement la solution (réponse à une entrée) dans le domaine fréquentielle (solution en p).

Le problème est que l’on ne sait pas prendre la transformée de Laplace inverse d’une fonction quelconque. Il va donc falloir décomposer la solution trouvée en somme de termes dont on connaît les transformées inverses. Cela revient à effectuer la décomposition en éléments simples de ce rapport polynomial.

1.3.2 Décomposition en éléments simples

Tout rapport polynomial peut s’écrire comme somme de rapport du type :

a	ì	auncoefficientàdéterminer
	avec í
p – p_i
î^pi	leszérosdupolynomeaudénominateur

La décomposition en éléments simples revient à chercher dans notre cas particulier à mettre

S(p) sous la forme : S ( p) =	K A	=	a	+	b	avec a et b deux coefficients à déterminer.
p(1+t p)
		p 1+t p

A partir de la on peut employer deux méthodes pour déterminer a et b :

1^ère méthode : (vue en mathématique) :

a = pS( p)=123

pour p=0

	KA		= KA	etb =(1+t p ) S ( p )=
	1+t p
		142443
123			pour p=-	1
pourp=0
	t

= –KAt

{

pourp=-

2^ème méthode : identification polynomiale :

a + p(b + at )

S ( p)=

K A

a(1+t p)+

p(1+t p)

p 1+t p

ì a = KA

On en déduit donc en identifiant les numérateurs que : _í

soit _í

_î b + at =0

_îb = –KAt

Quelle que soit la méthode employée (il est bon de savoir vérifier son calcul par identification), on aboutit à la décomposition de S(p) en éléments simples sous la forme :

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KAt

é 1

t ù

ê 1

1 ú

S( p)=

–

= KA_ê

–

= KA _ê

–

+ t p

p 1

_ë p 1

+t p _û

ê ^p

p +

t û

1.3.3 Réponse dans le domaine temporel

é						ù
ê 1		1		ú
On vient donc de montrer que S( p) = KA ê		–					ú or on a déjà vu lors du cours sur les

ê ^p		1 +	1	ú
	t
ë					û

ì		1
_ïU ( p)= L [ u( t)]=
^p (par abus de notation on omet souvent de
transformées de Laplace que _í^ï	1
^ï L[e^–^atu (t )]=
p + a
ï
î

multiplier toute les fonctions du temps par u(t) l’échelon unitaire ; ce qui revient à écrire :

L[ e^–^at ]= ¹ )

p + a

En lisant ces transformées dans l’autre sens, c’est à dire en prenant les transformées inverses de Laplace, on obtient :

ùù

öù

-1

ê 1

1 úú

-1

æ 1 ö

-1

1 ÷ú

s(t)= L

[ S ( p)] = L

êKAê

–

úú = KAê L

_÷– L

÷ú

ê ^p

1 +

úú

è ^p ø

t ûû

t ø

–

u (t )

Soit la solution dans le domaine temporel : s(t) = KA 1

– e

–

Ce qui revient à écrire par abus de notation :

– e

s(t)= KA ç1

1.3.4 Analyse temporelle

1.3.4.1 Rapidité

On cherche à évaluer le temps que met le système à répondre à l’entrée, c’est à dire le temps que met le système à passer du régime transitoire au régime permanent. Le régime permanent est la solution particulière de l’équation différentielle que l’on recherche de la même forme que l’entrée, c’est à dire ici une constante.

æ		–	t	ö
1- e
La réponse du système s(t) = KA ç	^t ÷ est une courbe qui tend vers la valeur constante

KA (asymptote horizontale) en restant toujours inférieure à cette valeur KA.

La rapidité est évaluée dans la pratique, par le temps que met le système à atteindre des

valeurs ne s’écartant pas de ± 5 % de sa valeur asymptotique.Ce temps se note t_5% Pratiquement, pour un premier ordre le temps à 5% est le temps à -5% puisque

æ	–	t	ö
	< KA
« t , s (t ) = KA 1	– e ^t	÷
ç
è			ø
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				æ	–	^t5%	ö
On cherche donc t_5% telque s(t_5% ) = KA ç 1 – e		t	÷ = 0,95 KA
				è			ø
æ	– e	–	^t5%	ö
0,95 KA = KA 1		t	÷
ç
è				ø

_–^t5 %

0,05 = e ^t

ln(0,05) = – ^t^5% avec ln0,05 ; -3

1.3.4.2 Précision statique

La précision est l’écart entre ce que l’on voulait (la consigne : e(t)) et ce que l’on a (la réponse s(t)). La précision est ici qualifiée de statique puisque au bout d’un certain temps ( t ® ¥ ) l’entrée est constante (c’est un échelon) et la sortie aussi (on a vu que lim s(t ) = KA ).

t®¥

La précision statique vaut donc :

e_S = lim [e(t ) – s (t )] avece(t)uneentréeéchelonets(t)laréponsedu systèmeà cetéchelon

t ®¥

Dans le cas d’un système du premier ordre, on trouve donc : e_S = A (1 – K)

C’est à dire que le système est précis ( e_S = 0 ) si le gain de la fonction de transfert globale du système est unitaire.

Remarque : On peut trouver ce résultat directement à partir de la fonction de transfert globale du système, en utilisant le théorème de la valeur finale :

= lim

(

e(t)- s(t)

)

= lim p

(

E( p)- S ( p)

)

= lim pE( p) ^é1-

S ( p)

= lim pE( p) 1 – H ( p)

]

[

t ®¥

p ®0

p ® 0

E ( p)_û

p®0

Remarque :

tant que l’on a pas expliciter E(p) et H(p), cette relation peut être appliquer à

n’importe quel système pour n’importe quel type d’entrée.

Dans le cas qui nous intéresse, pour un premier ordre H ( p) =

, et pour une entrée

1+t p

K ù

é1- K +t p ù

échelon,

E ( p)=

, on retrouve : e_s = lim A_ê1-

= lim A _ê

_ú = A (1

– K) , sans

1+t p

p ®0

1+ t p _û

p®0

avoir eu besoin de calculer la réponse en fonction du temps.

1.3.4.3 Pente à l’origine.

–

, donc : s¢(t ) =

–

s(t)= KA ç1

– e ^t ÷

e ^t

, soit une pente à l’origine de :

s¢(0)=

, c’est à dire une droite qui passe par l’origine et par le point d’abscisse t et

KA .

d’ordonnée

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1.3.4.4 Valeur à la constante de temps t .

æ		–	t	ö	-1	æ e -1ö
	t
s(t)= KA ç1	– e			÷ donc s(t ) = KA (1- e		) = KA ç	÷	; 0,63KA
			e
è		ø		è	ø

La valeur de la réponse à la constante de temps vaut 63% de la valeur asymptotique.

1.3.4.5 Courbe réponse caractéristique

Réponse d’un

premier ordre à ^{0,95 KA}

un échelon de

taille A

0,63 KA

Pente à l’origine : ^KA

t 3t : rapidité

Régime transitoire Régime permanent

Evolution de la réponse d’un premier ordre

avec la constante de temps t . Plus t est grand

plus les systèmes sont lents

1.4 Réponse à une rampe

1.4.1 Réponse dans le domaine fréquentiel

On soumet le système à une entrée rampe de pente V. L’entrée est donc la fonction du temps :

e(t)= V t u(t) avec u(t) l’échelon unitaire.

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		e (t)
				Vt
							Temps t
	t=0

e(t)=V t u(t) donc E ( p) =	V	or H ( p) =	S( p)	=	K	Þ S ( p) =	K V
p²			p ² (1+t p)
				E( p) 1+t p

Il reste à décomposer la solution trouvée en somme de termes dont on connaît les transformées inverses. Cela revient à effectuer la décomposition en éléments simples de ce rapport polynomial.

1.4.2 Décomposition en éléments simples

La décomposition en éléments simples revient à chercher dans notre cas particulier à mettre

S(p) sous la forme : S ( p) =	K A	=	a	+	b	+	c	avec a, b et c trois coefficients à
p² (1+t p )	p ²
			p 1+t p

déterminer. Le terme en p² du dénominateur signifie que 0 est une racine double du dénominateur. On a donc deux coefficients (a et b) associés à cette racine double dans la décomposition en éléments simples.

A partir de la on peut employer les deux méthodes pour déterminer a, b et c :

1^ère méthode : (vue en mathématique) :

a = p ² S( p )14243

pourp=0

= KV

c =(1+t p) S( p)=

= KVt ²

1+t p

p²

142443

123

{

pour p=0

pourp=-

lim ps( p) = lim

é a

+ b +

cp ù

= b +

= lim

= 0. Donc b = –

= –KVt

p®¥

p ®¥

ë ^p

1 + t p _û

p®¥ p (1+t p)

2^ème méthode : identification polynomiale :

S ( p)=

K V

a(1+t p)+ bp(1+t p)+ cp²

a + p(b+ at )+ p ²

(c + bt )

p² (1+t p )

p ²

p² (1+t p)

p ² (1+t p)

p 1+t p

ì a = KV

On en déduit donc en identifiant les numérateurs que :

soit

í b + at = 0

íb = –KVt

_î c + bt =0

_îc = KVt

Quelle que soit la méthode employée (il est bon de savoir vérifier son calcul par identification), on aboutit à la décomposition de S(p) en éléments simples sous la forme :

é 1

t ² ù

ê 1

t ú

S( p)= KV _ê

–

= KV _ê

–

ë ^p

p 1

+t p _û

ê ^p

p +

t û

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1.4.3 Réponse dans le domaine temporel

ê 1

On vient donc de montrer que S( p) = KV _ê

–

_ú or on a déjà vu lors du cours sur

ê ^p

t û

_ïU ( p)= L [u (t) ]=

les transformées de Laplace que _í^ï L[e^–^atu (t )] =

En lisant ces transformées dans l’autre

p + a

_ï L[ t u( t)]=

sens, c’est à dire en prenant les transformées inverses de Laplace, on obtient :

ùù

öù

-1

ê 1 t

t úú

-1

æ 1 ö

-1

æ t ö

-1

t ÷ú

s(t)= L

[ S ( p)] = L

êKV ê

–

úú = KV ê L

_÷ – L

÷ú

ê ^p

1 +

úú

p _ø

t ûû

t ø

–

Soit la solution dans le domaine temporel : s(t) = KV ç t – t +t e ^t

÷u (t )

–

Ce qui revient à écrire par abus de notation :

s(t)= KV ç t –t +t e

1.4.4 Analyse temporelle

1.4.4.1 Précision dynamique

La précision est l’écart entre ce que l’on voulait (la consigne : e(t)) et ce que l’on a (la réponse s(t)). La précision est ici qualifiée de dynamique puisque l’entrée et la sortie varient au cours du temps.

On qualifie ici la capacité qu’a le système à suivre une entrée variable dans le temps.

On parle aussi pour désigner la précision dynamique, d’erreur de suivi ou encore d’erreur de traînage. C’est pourquoi on la note : e_t

L’erreur dynamique, de suivi ou encore de traînage vaut donc :

e_t = lim [e(t ) – s( t)] avece(t)uneentréerampeets(t)laréponsedusystèmeàcette rampe

t ®¥

On remarquera que la définition est la même que pour l’erreur statique. Seule l’entrée à laquelle on soumet le système change (et donc la réponse du système aussi).

Dans le cas d’un système du premier ordre, on trouve donc :

	æ	æ	–	t	öö	ì ¥ si K ¹ 1

e_t = lim çVt – KV ç t –t + t e	^t ÷÷ = í
t ®¥	ç	è		÷	_îVt si K =1
	è		øø

*Remarque :*	On peut trouver ce résultat directement à partir de la fonction de transfert
		globale du système, en utilisant le théorème de la valeur finale :
				é		S ( p)ù	= lim pE( p)[1- H ( p)]
e_t = lim (e(t ) – s(t)) = lim p (E ( p) – S( p) ) = lim pE( p) _ê1	–		ú

t ®¥	p®0	p ®0	ë		E ( p)_û	p®0
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Analyse temporelle

Dans le cas qui nous intéresse, c’est à dire pour un premier ordre H ( p) =

, et pour une

1+t p

entrée rampe ,

E ( p)=

, on obtient :

p²

= lim

^é1-

K ù

= lim

1- K +t p

ì ¥ si K ¹ 1

^íV t si K =1

1+ t p^ú

1+t p

p ® 0 _p ^ê

p®0 _p ^ê

1.4.4.2 Courbe réponse caractéristique

e	t	® t car K=1
*Entrée : rampe de pente V=1*	t®¥

Asymptote de la réponse : de

même pente que l’entrée car K=1

Réponse du système H(p)=

1 + 2 p

(gain unitaire) à une rampe de pente

Entrée rampe avec V=1

Evolution des réponses

de systèmes de gain

unitaire (K=1) avec t Z

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Analyse temporelle

				e_t = ¥
	e_t	*constant*	*car asymptote*	*car asymptote de*
	*de même pente que l’entrée*	*pente différente*
	*que l’entrée*

	*Entrée rampe avec V=1*

*Comparaison des*
*réponses en*
*fonction des*			*Réponse d’un système*
*différents gains*
		*de gain* K ¹ 1
*des systèmes*

Réponse d’un

système de gain K=1

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