Systèmes linéaires continus invariants ANALYSE FREQUENTIELLE (Partie 1 & 2)

Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

ANALYSE FREQUENTIELLE (Partie 1 & 2)

L’étude détaillée se limite aux systèmes de bases, c’est à dire aux systèmes du premier ordre et du second ordre. En effet l’étude des autres systèmes se construit à partir des résultats issus des premiers et seconds ordres.

1 Généralités – Rappels

1.1 Fonctions de transfert

Considérons le schéma bloc d’un asservissement :

       
       
     
       

word image

Définition des fonctions sur le schéma bloc usuel :

E ( p) est l’entrée du système ou encore la consigne donnée au système.

S ( p) est la sortie du système ou encore la réponse système.

S ¢( p) est l’image de la sortie.

  • ( p) est l’erreur (ou écart) constatée entre l’entrée E ( p) et l’image de la sortie S ¢( p) .

Définition de la FTBF et de la FTBO :

  • Fonction de Transfert en Boucle Fermée (abrégé sous la forme FTBF) :

S ( p)

E( p)

  • Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (abrégé sous la forme FTBO) :

FTBO = S¢( p)

  • ( p)

Calcul de la FTBF et de la FTBO dans le cas de la boucle d’asservissement classique représentée ci-dessus :

FTBO = S¢( p) = A( p)B( p)

  • ( p)

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S( p) = A( p )e ( p)

  • A( p)[E( p) – S ¢( p)]
  • A( p)[E( p) – B ( p) S( p)]

[

+ A( p) B( p)

]

= A ( p ) E( p)

       

S( p) 1

         

Soit la fonction de transfert en boucle fermée : FTBF = H ( p) =

S ( p)

           

H ( p) =

 

A ( p)

   

E ( p)

1+ A ( p ) B( p)

 
           
                     

A ( p)

Ce qui peut encore se présenter sous la forme : FTBF = H ( p) =

1+ FTBO

Chaque fonction de transfert étant un rapport polynomial, peut donc s’écrire :

K

H ( p) = pa

m æ

p

 

ö

 

ìa :classedusystème

 
   

ï

     

Õ

ç1-

   

÷

       
       

ïK :gainstatiquedusystème

 

z

     
 

ç

   

÷

 

ïn :ordredusystème

 

i =1è

i

 

ø

où :

 
             

í

     

n

æ

     

ö

     
 

p

 

ï p

j

:(zérosdudénominateur)polesdelafonctiondetransfert

 

Õ

ç 1-

   

÷

 

ï

   
             
 

ç

 

p

 

÷

 

ï z :(zérosdunumérateur)zérosdelafonctiondetransfert

 

j = 1è

 

j ø

 

î i

     

1.3 Analyse fréquentielle

1.3.1 Réponse harmonique

On étudie la réponse du système soumis à une entrée harmonique, c’est à dire sinusoïdale :

e(t) = E 0 sin (w t ) .

On démontre qu’une des caractéristiques des systèmes linéaires continus invariants est qu’ils présentent une réponse en régime établi (solution particulière de l’équation différentielle) de la même forme que l’entrée, c’est à dire sinusoïdale mais déphasée et d’amplitude

différente : s(t) = S0 sin (w t + j)

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ANALYSE FREQUENTIELLE

ANALYSE FREQUENTIELLE

Signal d’entrée :

E0 word image 2

e(t) = E 0 sin (w t )

Signal de sortie :

s (t) = S 0 sin (w t +j )

S0 word image 3

Déphasage j

On étudie alors le rapport d’amplitude sortie sur entrée S0 et le déphasage j en fonction de E0

la pulsation du signal d’entrée w .

On montre que le rapport des amplitudes est égal au module de la fonction de transfert avec p = jw et que le déphasage est égal à l’argument de la fonction de transfert avec p = jw .

Conclusion : L’étude fréque ntielle d’un système de fonction de transfert H ( p) consiste donc à éffectuer p = jw dans l’expression de la fonction de transfert et à étudier le complexe H ( jw) souvent par son module (alors exprimé en décibels :

word image 4 word image 5 H ( jw ) word image 6 word image 7dB = 20Log word image 8 word image 9 H ( jw) word image 10 word image 11 ) et son argument ( j (w ) = Arg [ H ( jw)]) ou bien par sa partie réelle et sa partie imaginaire.

1.3.2 Représentation fonctionnelle

Représentation dans le plan de Black : Diagramme de Black :

On représente le gain exprimé en décibels en fonction de la phase en degré pour une même pulsation w . On obtient donc une courbe paramétrée par w .

Cette représentation est très utilisée pour concevoir la correction d’un système. Elle est aussi assez souvent rencontrée dans les sujets de SI en Classe Préparatoire aux Grandes Ecoles.

word image 12

word image 13 word image 14 H ( jw ) word image 15 word image 16dB = H dB (w)

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word image 17

H dB (w1)

H dB (w2 )

j (w2 ) j (w1 ) j (w )

Représentation dans le plan de Bode : Diagrammes de Bode

On représente le gain du système en fonction de la pulsation w sur une courbe avec une échelle logarithmique en abscisse (voir exemple ci-dessous).

On représente la phase du système en fonction de la pulsation w sur une autre courbe avec toujours l’échelle logarithmique pour les pulsations w (voir exemple ci-dessous).

word image 18

H dB(w)

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word image 19

  1. dB

0 dB

  • (w )

Droite de pente -20dB/décade

correspondant à lafonction de

transfert : 1 ,c’est à dire au

p

gain : H dB (w ) = -20Logw

w (rad s-1 )

1 décade 1 décade

Droite horizontale à -90°

correspondant à la phase de

1

la fonction de transfert ,

c’est à dire j (w ) = -90°

-90°

w (rad s-1 )

Représentation dans le plan de Nyquist :

On trace la courbe paramétrée par la pulsation w avec en abscisse, la partie réelle du complexe H ( jw) et en ordonnée la partie imaginaire du complexe H ( jw) .

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Ce type d’étude dans le plan dit de Nyquist n’est pas très fréquemment rencontré dans les sujets de concours aux écoles d’ingénieurs.

Im éë H ( jwû

word image 20

Re éë H ( jwû

1.3.3 Asymptote dans les diagrammes de Bode

Rechercher des asymptotes pour les courbes de Bode revient à chercher des équivalents pour

K

les fonctions de transfert sous la forme : H ( p ) = .

En effet les systèmes qui répondent à cette forme de fonction de transfert ( n = 0 : H(p) modélise un gain pur, n Î ¥ * + : intégrateurs, n Î¥ * : dérivateurs), ont des diagrammes de Bode réels qui sont des droites.

On pose p = jw et on s’intéresse au module et à l’argument du complexe H ( jw)

                     

K æ 1 ön

               

æ

p ön

             

p

 
       

K

           

K

 

(- j )n

   

K

 

çj

 

÷

   

K

   

jn

   
                                         

H ( jw) =

         

=

       

ç

 

÷ =

   

=

       

ç e

2 ÷

=

       

e

 

2

 
     

n

           

n

     

n

     

n

   

(

 

)

       

n è j ø

( )

   

(

   

ç

÷

 

(

 

)

       

jw

   

( )

             

w

)

 

w

         
                   

w

         

w

           

è

ø

               
                                                                   

On vient donc de mettre en forme H ( jw) de manière à faire apparaître son

     
                                                                         

module :

 

H ( jw)

 

=

K

   

et son argument, c’est à dire la phase de la fonction de

 
         
   

wn

   
                                                                     

p

transfert : j (w) = –n 2 . Le module en dB est donc : H ( jw ) dB = 20LogK – 20 nLogw ,

c’est à dire une droite de pente -20n dB décade passant par le point (w = 1, 20LogK )

word image 21

En effet l’échelle de pulsation en abscisse étant logarithmique, une droite y a pour équation :

y = a L og w + b .

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On obtient donc les diagrammes de Bode suivants pour

H dB (w)

20logK

20LogK-40n (2décade s d’écart)

j (w )

0

  • n p

2

K

H ( p ) =

Droite d’équation :

20LogK – 20nLogw :

Droite de pente -20n dB /décade passant par le point (w = 1;20LogK )

w (rad s-1 )

w (rad s-1 )

1.3.4 Notions importantes

1.3.4.1 Pulsation au gain unité

Définition : La pulsation au gain unité est la pulsation pour laquelle le gain du système (c’est à dire le module de sa fonction de transfert) vaut 0 dB. Cette pulsation au

gain unité est notée wc0

word image 22 word image 23 H ( jw c 0 ) word image 24 word image 25 dB = 0 d B Û word image 26 word image 27 H ( jwc 0 ) word image 28 word image 29 =1

  • Graphiquement, wc0 est la pulsation où le diagramme de Bode en gain coupe les abcisses (0 dB) :

Exemple :

word image 30

H dB (w)

Pulsation au gain unité ou

pulsation de coupure à

0dB : ici wc0 =1000 rad s-1

Diagramme de Bode en gain du

système de fonction de transfert :

10

H ( p) =

1+ 0,01p

w (rad s-1 )

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1.3.4.2 Bande passante

Définition : La bande passante est définie à partir de ou des pulsations de coupure à un

certain nombre de dB notés l , on la note : wc ldB

word image 31

                                             

çl

 

÷

 
                                     

H (0)

     

æ

20

ö

 
                                           

ç

÷

 
 

H (0)

     

dB

     

H ( jw c ldB )

     

dB = l dB Û

                 

= 10è

 

ø

 
                           

H ( jwc ldB )

       
                               
                         

14243

                                 
  1. LogK
    • Graphiquement, wc ldB est la pulsation à partir de laquelle le diagramme de Bode

en gain est en-dessous de word image 32 word image 33 H (0) word image 34 word image 35dB l = 20LogK l :

Exemple :

word image 36

H dB (w)

20LogK – 3dB

Diagramme de Bode en gain du

système de fonction de transfert :

10

H ( p) =

1+ 0,01p

20LogK

Bande passante (ici à -3dB) ou pulsation de coupure à -3dB : ici

wc 3dB = 100 r a d s-1

w (rad s-1 )

1.3.4.3 Résonnance-Surtension

Définition : On parle de phénomène de résonance dès que la courbe de gain du diagramme de Bode présente un extremum (maximum avec tangente nulle : autre que la tangente nulle de l’asymptote horizontale 20Log K pour w ® 0 ).

  • La pulsation pour laquelle existe ce maximum est appelée pulsation de résonance et est notée : wr
  • La surtension notée Q (QdB lorsqu’elle est exprimée en dB) quantifie le pic de résonance. En dB c’est l’écart entre le pic de résonance et le gain statique en dB.

QdB =

H (jw r )

     

H (0)

     

dB

=

H (jwr )

– 20LogK

 
         
   

dB

     

dB

 
             

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Exemple :

word image 37

H dB (w)

Pic de résonance

Coefficient de

 

surtension QdB

 
   

20LogK

w (rad s-1 )

Pulsation de résonance wr

2 Système du premier ordre.

2.1 Définition d’un système du premier ordre

Un système du premier ordre a son comportement régi par une équation différentielle du premier ordre de la forme :

     

ì

e = e(t ) entréedusystème

 
 

ds

 

ï

s = s (t ) réponsedusystèmeàl’entréee(t)

 

s +t

= Ke

ï

 
 

í

K:gainstatique(>0)

 

dt

 
   

ï

 

ïît :constantedetemps(>0,homogèneà untemps(seconde (s))

2.2 Fonction de transfert globale d’un premier ordre

On applique la transformée de Laplace à l’ensemble de l’équation différentielle ci-dessus, avec des conditions initiales nulles :

Rappel : La transformée de Laplace d’une fonction f(t) est une fonction de p, notée par

convention avec la lettre majuscule de la fonction du temps transformée : F(p)

Donc : s +t ds = Ke transforméedeLaplace S + t pS = KE

dt uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru

On peut alors présenter le rapport de la sortie S(p) sur l’entrée E(p), c’est à dire la fonction de

transfert globale du système :

H ( p) =

S( p )

=

K

   
 

1+t p

 
   

E( p)

 

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On note :

  • Le gain statique vaut : K=H(0)
  • Pour identifier les caractéristiques d’un système du premier ordre (c’est à dire K et t ), on veillera bien à présenter la fonction de transfert globale H(p) avec le

coefficient en p0 du polynôme au dénominateur égal à 1. Ainsi le numérateur peut être identifié au gain statique K et le coefficient en p1 du polynôme au dénominateur peut être identifié à la constante de temps t

2.3 Gain et phase réels d’un premier ordre

H ( jw) =

K

   
     

1+ jtw

   

Calcul du gain :

   

H ( jw) =

K

soit en dB : H ( jw ) dB = 20Log H ( jw)

 

1 +t 2 w2

 

word image 38

word image 39 word image 40 H ( jw) word image 41 word image 42dB = 20LogK – 20 Log word image 43 word image 44 1 +t 2 w2

word image 45

Calcul de la phase :

  • (w ) = Arg [ H ( jw)]

H ( jw) =

 

K

=

 

K(1- jtw)

 

=

 

K

1 – jtw

)

, donc :

 
               

2 2

 
       

(

 

)(

 

)

   

(

   
 

1 + jtw

 

+ jtw

jtw

1

+t w

       
   

1

1

         
  • (w ) = Arg [ H( jw) ] = Arg [1- jtw]
 

(

jtw

)

   

(

     

)

     

(

           

)

 

tan j =

Im 1

   

;cosj =

Re 1- jtw

 

;sinj =

Im 1- jtw

   

Re 1

jtw

)

   

1 – jtw

             

1- jtw

           
                   
 

(

                                                     

Donc :

                             

tan j =

tw

;cosj =

 

1

 

;sinj =

   

tw

   
   

1

       

1+ t 2w 2

       

1+t 2w2

     

word image 47 word image 49

  • (w) = – arctan [tw]

2.4 Asymptotes des diagrammes de Bode

Deux méthodes sont possibles pour déterminer les asymptotes des diagrammes de Bode : Soit on détermine les équivalents en 0 et en +¥ du gain réel et de la phase réelle, soit on cherche des équivalents directement sur la fonction de transfert.

1ère méthode : équivalents à partir des fonctions de gain et de phase réels.

Asymptote sur le diagramme de gain :

word image 50 word image 52 word image 54 H ( jw) word image 56 word image 59dB = 20LogK – 20 Log word image 60 word image 62 1 +t 2 w2 est la fonction du ga in (en dB) réelle

word image 63

  • équivalent lorsque w ® 0 : on peut négliger le terme en t 2w2 devant1.Donc :
 

H ( jw)

 

; 20LogK

, c’est une droite horizontale d’ordonnée 20LogK dB.

 
     
     

{

     
     

dB w ® 0

 

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  • équivalent lorsque w ® ¥ : on peut négliger le terme en 1devant t 2w 2 .Donc :

H ( jw)

; 20LogK – 20Logtw , soit, mis en forme différemment pour faire

 

{

 

dB w ® ¥

clairement apparaître la pente de la droite :

 

H ( jw)

 

; 20LogK – 20 Logt

-20

Logw

c’est une

 
     
     

{

   

{

     
     

dB w ® ¥

 

pentedeladroiteasymp to te

   

droite de pente -20 dB

décade

passant par le point

(w = 1;

20LogK – 20Logt ).

 
                 

word image 65

Intersection entre les deux asymptotes :

On cherche la pulsation dite pulsation propre du système notée w p pour laquelle les deux asymptotes ont des valeurs égales. L’équation permettant de déterminer w p est donc :

20LogK = 20LogK – 20Logt – 20Logw p .

1

Soit 20Logw p = -20Logt ; d’où :w p = t

Explication sur la pente de la droite et la notion de décade :

Un décade est une plage fréquentielle contenue entre une pulsation w0 et 10 fois sa valeur : 10w0 . Donc les deux points qui correspondent à ces pulsations sur l’asymptote sont : (w0 ; 20LogK – 20Logt – 20Logw0 )et

æ

 

ö

 

ç

-20Log (10w0 )

÷

 

ç 10w0 ;20LogK – 20Logt

÷. Ils y a donc un écart de -20 dB entre

 

ç

1442443

÷

 

ç

= – 20Logw – 20

÷

 

è

0

ø

 

word image 67

les deux points séparées d’une décade, d’où la pente de -20 dB décade .

Asymptote sur le diagramme de phase :

La fonction de phase réelle est définie par

tan j =

tw

;cosj =

1

 

;sinj =

 

tw

 
 

1

 

1+ t 2w 2

   

1+t 2w2

word image 69 word image 70

  • (w) = – arctan [tw]
  • équivalent lorsque w ® 0 : j (w ) » 0°.Donc, on a une asymptote horizontale à 0°

Ø

équivalent lorsque w ® ¥

(

)

 

p

(

 

)

   

: j w

 

» –

 

– 90°

 

.Donc, on a une asymptote

 
         
       

2

         

horizontale à -90°

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ANALYSE FREQUENTIELLE

Comme

æ

ö

æ

1

ö

= -arctan (1) = –

p

(- 45°)

, on relie les deux asymptotes qui sont

 

j ç w

÷

= j ç

 

÷

4

 
 

è

p ø

è t

ø

       

normalement parallèles (puisque toutes les deux horizontales) au niveau de la pulsation propre

1

du système w p = t .

2ème méthode : équivalents à partir de la fonction de transfert :

A

On cherche des équivalents de la fonction de transfert de la forme

pn

Fonction de transfert équivalente pour w ® 0 , c’est à dire pour p ® 0 (puisque p = jw )

H ( p ) =

K

équivalentà

K

soit

K

 
 

1

 

0

   

1 +t p

14243

 

p

   
   

quand p ® 0

         
               
                 
  • On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 20LogK pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)
  • On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 0° pour la courbe de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

Fonction de transfert équivalente pour w ® ¥ , c’est à dire pour p ® ¥ (puisque p = jw )

   

K

   

K

 

K

 

H ( p) =

 

équivalentà

 

soit

t

   
 

+t p

t p

1

 

1

14243

     
     

quand p ® ¥

     

p

 
                 
                   

word image 72

  • On retrouve donc l’asymptote de pente -20dB/décade pour w ® ¥ à

20Log Kt – (20 ´ 1)Logw = 20LogK – 20Logt – 20Logw pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

ü On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® ¥ à – p (-90°) pour la courbe 2

de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

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Graphiquement cela donne les diagrammes asymptotiques schématiques suivants :

word image 73

20LogK

H dB

(w)

 
   

Pente : -20 dB / décade

w

 

w p =

1

 

j w

t

 
 

(

)

   

w

-90°

2.5 Diagrammes de Bode d’un premier ordre

word image 76

Asymptote horizontale

à 20LogK

H dB (w)

20 – 3= 17dB

Courbe de Gain en

dB réelle.

Pulsation de coupure à -3dB ou bande

1

passante à -3dB : w c -3dB = w p = t

Asymptote de pente : -20 dB/décade, d’équation :

wc 0

20LogK – 20Logt – 20Logw

w

c -3dB

= w

p

= 1

   

1 décade

 
   

t

 

w (r a d s-1 )

  • (w )

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Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

word image 79

Asymptote à

  • æç wp = t1 ö÷ = – arctan (1) = – 45°

èø

Courbe réelle de phase

Asymptote à p

2

-90°

w (rad s-1 )

Justification de la bande passante à -3dB :

La pulsation de coupure à -3dB ou bande passante à -3dB est telle que :

20 LogKword image 81 word image 83 H ( jwc-3dB ) word image 84 word image 86dB = 3dB , soit pour un premier ordre :

word image 87

20LogK – 20LogK + 20Log word image 89 word image 91 1+ t 2wc2-3dB = 3

word image 93

20Log 1 + t 2wc2-3dB

=

 

3

                     
             

æ

 

3

   

ö

       

æ

6 ö

       
             

ç

       

÷

       

ç

 

÷

       
               

20

         

20

       

2 2

=10

è

   

ø

Þ 1

+t

2

2

è

ø

; 2

2 2

= 1

 

1+ t wc -3dB

             

wc– 3 dB

= 10

   

Þt wc -3dB

 

D’où :

w

 

=

1

= w

                           

c -3 dB

 

p

                       
     

t

                             

word image 95

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