Systèmes linéaires continus invariants analyse frequentielle (Partie 1&2)

Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariants

ANALYSE FREQUENTIELLE

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

ANALYSE FREQUENTIELLE (Partie 1 & 2)

L’étude détaillée se limite aux systèmes de bases, c’est à dire aux systèmes du premier ordre et du second ordre. En effet l’étude des autres systèmes se construit à partir des résultats issus des premiers et seconds ordres.

1 Généralités – Rappels

1.1 Fonctions de transfert

Considérons le schéma bloc d’un asservissement :

Définition des fonctions sur le schéma bloc usuel :

E ( p) est l’entrée du système ou encore la consigne donnée au système.

S ( p) est la sortie du système ou encore la réponse système.

S ¢( p) est l’image de la sortie.

( p) est l’erreur (ou écart) constatée entre l’entrée E ( p) et l’image de la sortie S ¢( p) .

Définition de la FTBF et de la FTBO :

Fonction de Transfert en Boucle Fermée (abrégé sous la forme FTBF) :

S ( p)

E( p)

Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (abrégé sous la forme FTBO) :

_FTBO ₌ S¢( p)

( p)

Calcul de la FTBF et de la FTBO dans le cas de la boucle d’asservissement classique représentée ci-dessus :

FTBO = ^S^¢( ^p⁾ = A( p)B( p)

( p)

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S( p) = A( p )e ( p)

A( p)[E( p) – S ¢( p)]
A( p)[E( p) – B ( p) S( p)]

[	+ A( p) B( p)	]	= A ( p ) E( p)
S( p) 1	+ A( p) B( p)		= A ( p ) E( p)
Soit la fonction de transfert en boucle fermée : FTBF = H ( p) =				S ( p)
				S ( p)	H ( p) =		A ( p)
				E ( p)	H ( p) =	1+ A ( p ) B( p)
				E ( p)		1+ A ( p ) B( p)

A ( p)

Ce qui peut encore se présenter sous la forme : FTBF = H ( p) =

1+ FTBO

Chaque fonction de transfert étant un rapport polynomial, peut donc s’écrire :

H ( p) = _pa

m æ		p		ö			ìa :classedusystème
m æ				ö			ï
Õ	ç1-			÷			ï
							_ïK :gainstatiquedusystème
		z					_ïK :gainstatiquedusystème
	ç	z		÷			ïn :ordredusystème
i =1è		i		ø		où :	ïn :ordredusystème
							í
n	æ			ö			í
n	æ	p		ö			ï p	j	:(zérosdudénominateur)polesdelafonctiondetransfert
Õ	^ç 1-	p			÷		ï
Õ	^ç 1-				÷		ï
	ç	p		÷			ï z :(zérosdunumérateur)zérosdelafonctiondetransfert
j = 1_è			j _ø				î i

1.3 Analyse fréquentielle

1.3.1 Réponse harmonique

On étudie la réponse du système soumis à une entrée harmonique, c’est à dire sinusoïdale :

e(t) = E ₀ sin (w t ) .

On démontre qu’une des caractéristiques des systèmes linéaires continus invariants est qu’ils présentent une réponse en régime établi (solution particulière de l’équation différentielle) de la même forme que l’entrée, c’est à dire sinusoïdale mais déphasée et d’amplitude

différente : s(t) = S₀ sin (w t + j)

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Signal d’entrée :

E₀

e(t) = E ₀ sin (w t )

Signal de sortie :

s (t) = S ₀ sin (w t +j )

S₀

Déphasage j

On étudie alors le rapport d’amplitude sortie sur entrée ^S⁰ et le déphasage j en fonction de E₀

la pulsation du signal d’entrée w .

On montre que le rapport des amplitudes est égal au module de la fonction de transfert avec p = jw et que le déphasage est égal à l’argument de la fonction de transfert avec p = jw .

Conclusion : L’étude fréque ntielle d’un système de fonction de transfert H ( p) consiste donc à éffectuer p = jw dans l’expression de la fonction de transfert et à étudier le complexe H ( jw) souvent par son module (alors exprimé en décibels :

H ( jw ) _dB= 20Log H ( jw) ) et son argument ( j (w ) = Arg [ H ( jw)]) ou bien par sa partie réelle et sa partie imaginaire.

1.3.2 Représentation fonctionnelle

Représentation dans le plan de Black : Diagramme de Black :

On représente le gain exprimé en décibels en fonction de la phase en degré pour une même pulsation w . On obtient donc une courbe paramétrée par w .

Cette représentation est très utilisée pour concevoir la correction d’un système. Elle est aussi assez souvent rencontrée dans les sujets de SI en Classe Préparatoire aux Grandes Ecoles.

H ( jw ) _dB= H _dB (w)

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H _dB (w₁)

H _dB (w₂ )

j (w₂ ) j (w₁ ) j (w )

Représentation dans le plan de Bode : Diagrammes de Bode

On représente le gain du système en fonction de la pulsation w sur une courbe avec une échelle logarithmique en abscisse (voir exemple ci-dessous).

On représente la phase du système en fonction de la pulsation w sur une autre courbe avec toujours l’échelle logarithmique pour les pulsations w (voir exemple ci-dessous).

H _dB(w)

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0 dB

(w )

0°

Droite de pente -20dB/décade

correspondant à lafonction de

transfert : ¹ ,c’est à dire au

gain : H _dB (w ) = -20Logw

w (rad s^-1 )

1 décade 1 décade

Droite horizontale à -90°

correspondant à la phase de

la fonction de transfert ,

c’est à dire j (w ) = -90°

-90°

w (rad s^-1 )

Représentation dans le plan de Nyquist :

On trace la courbe paramétrée par la pulsation w avec en abscisse, la partie réelle du complexe H ( jw) et en ordonnée la partie imaginaire du complexe H ( jw) .

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Ce type d’étude dans le plan dit de Nyquist n’est pas très fréquemment rencontré dans les sujets de concours aux écoles d’ingénieurs.

Im é_ë H ( jw )ù_û

Re é_ë H ( jw )ù_û

1.3.3 Asymptote dans les diagrammes de Bode

Rechercher des asymptotes pour les courbes de Bode revient à chercher des équivalents pour

les fonctions de transfert sous la forme : H ( p ) = .

En effet les systèmes qui répondent à cette forme de fonction de transfert ( ⁿ ⁼ ⁰ : H(p) modélise un gain pur, ⁿ ^Î ^¥ ^* ⁺ : intégrateurs, ⁿ ^Î¥ ^* ^– : dérivateurs), ont des diagrammes de Bode réels qui sont des droites.

On pose p = jw et on s’intéresse au module et à l’argument du complexe H ( jw)

K æ 1 öⁿ

p öⁿ

(- j )ⁿ

_ç – j

– jn

H ( jw) =

÷ ⁼

ç e

2 _÷

(

)

n _è j _ø

( )

(

)

( )

)

On vient donc de mettre en forme H ( jw) de manière à faire apparaître son

module :

H ( jw)

et son argument, c’est à dire la phase de la fonction de

wⁿ

transfert : j (w) = –n ₂ . Le module en dB est donc : H ( jw ) _dB = 20LogK – 20 nLogw ,

c’est à dire une droite de pente -20n ^dB _décade passant par le point (w = 1, 20LogK )

En effet l’échelle de pulsation en abscisse étant logarithmique, une droite y a pour équation :

y = a L og w + b .

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On obtient donc les diagrammes de Bode suivants pour

H _dB (w)

20logK

20LogK-40n (2décade s d’écart)

j (w )

n ^p

H ( p ) =

Droite d’équation :

20LogK – 20nLogw :

Droite de pente -20n dB /décade passant par le point (w = 1;20LogK )

w (rad s^-1 )

1.3.4 Notions importantes

1.3.4.1 Pulsation au gain unité

Définition : La pulsation au gain unité est la pulsation pour laquelle le gain du système (c’est à dire le module de sa fonction de transfert) vaut 0 dB. Cette pulsation au

gain unité est notée w_c₀

H ( jw _c ₀ ) _dB= 0 d B Û H ( jw_c ₀ ) =1

Graphiquement, w_c₀ est la pulsation où le diagramme de Bode en gain coupe les abcisses (0 dB) :

Exemple :

H _dB (w)

Pulsation au gain unité ou

pulsation de coupure à

0dB : ici w_c₀ =1000 rad s^-1

Diagramme de Bode en gain du

système de fonction de transfert :

H ( p) =

1+ 0,01p

w (rad s^-1 )

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1.3.4.2 Bande passante

Définition : La bande passante est définie à partir de ou des pulsations de coupure à un

certain nombre de dB notés l , on la note : w_c _– _ldB

ç^l

H (0)

dB ^–

H ( jw _c _–_ldB )

_dB = l dB Û

= 10^è

H ( jw_c _–_ldB )

14243

LogK
- Graphiquement, w_c _– _ldB est la pulsation à partir de laquelle le diagramme de Bode

en gain est en-dessous de H (0) _dB– l = 20LogK – l :

Exemple :

H _dB (w)

20LogK – 3dB

Diagramme de Bode en gain du

système de fonction de transfert :

H ( p) =

1+ 0,01p

20LogK

Bande passante (ici à -3dB) ou pulsation de coupure à -3dB : ici

w_c _– ₃_dB = 100 r a d s^-1

w (rad s^-1 )

1.3.4.3 Résonnance-Surtension

Définition : On parle de phénomène de résonance dès que la courbe de gain du diagramme de Bode présente un extremum (maximum avec tangente nulle : autre que la tangente nulle de l’asymptote horizontale 20Log K pour w ® 0 ).

La pulsation pour laquelle existe ce maximum est appelée pulsation de résonance et est notée : w_r
La surtension notée Q (Q_dB lorsqu’elle est exprimée en dB) quantifie le pic de résonance. En dB c’est l’écart entre le pic de résonance et le gain statique en dB.

Q_dB =

H (j^w _r )

–

H (0)

H (j^w_r )

– 20LogK

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Exemple :

H _dB (w)

*Pic de résonance*	*Coefficient de*
*Pic de résonance*	*surtension Q_dB*
	*surtension Q_dB*

20LogK

w (rad s^-1 )

Pulsation de résonance w_r

2 Système du premier ordre.

2.1 Définition d’un système du premier ordre

Un système du premier ordre a son comportement régi par une équation différentielle du premier ordre de la forme :

			ì	e = e(t ) entréedusystème
	ds		ï	s = s (t ) réponsedusystèmeàl’entréee(t)
s +t	ds	= Ke	ï	s = s (t ) réponsedusystèmeàl’entréee(t)
			í	K:gainstatique(>0)
	dt		í
	dt		ï

^ï_ît :constantedetemps(>0,homogèneà untemps(seconde (s))

2.2 Fonction de transfert globale d’un premier ordre

On applique la transformée de Laplace à l’ensemble de l’équation différentielle ci-dessus, avec des conditions initiales nulles :

Rappel : La transformée de Laplace d’une fonction f(t) est une fonction de p, notée par

convention avec la lettre majuscule de la fonction du temps transformée : F(p)

Donc : s +t ^ds = Ke transforméedeLaplace S + t pS = KE

_dt uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru

On peut alors présenter le rapport de la sortie S(p) sur l’entrée E(p), c’est à dire la fonction de

transfert globale du système :	H ( p) =	S( p )	=	K
				1+t p
		E( p)

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On note :

Le gain statique vaut : K=H(0)
Pour identifier les caractéristiques d’un système du premier ordre (c’est à dire K et t ), on veillera bien à présenter la fonction de transfert globale H(p) avec le

coefficient en p⁰ du polynôme au dénominateur égal à 1. Ainsi le numérateur peut être identifié au gain statique K et le coefficient en p¹ du polynôme au dénominateur peut être identifié à la constante de temps t

2.3 Gain et phase réels d’un premier ordre

H ( jw) =	K
H ( jw) =
1+ jtw
*Calcul du gain :*
H ( jw) =	K	soit en dB : H ( jw ) _dB = 20Log H ( jw)
H ( jw) =	1 +t ² w²	soit en dB : H ( jw ) _dB = 20Log H ( jw)

H ( jw) _dB= 20LogK – 20 Log 1 +t ² w²

Calcul de la phase :

(w ) = Arg [ H ( jw)]

H ( jw) =		K	=		K(1- jtw)				=	K	1 – jtw	)	, donc :
H ( jw) =			=						=	2 2	1 – jtw		, donc :
				(		)(		)		2 2	(
	1 + jtw			(	+ jtw	)(	– jtw	)	1	+t w
	1 + jtw			1	+ jtw	1	– jtw		1	+t w

(w ) = Arg [ H( jw) ] = Arg [1- jtw]

(

– jtw

)

(

)

(

)

tan j =

Im 1

;cosj =

Re 1- jtw

;sinj =

Im 1- jtw

Re 1

– jtw

)

1 – jtw

1- jtw

(

Donc :

tan j =

–tw

;cosj =

;sinj =

–tw

1+ t ²w ²

1+t ²w²

(w) = – arctan [tw]

2.4 Asymptotes des diagrammes de Bode

Deux méthodes sont possibles pour déterminer les asymptotes des diagrammes de Bode : Soit on détermine les équivalents en 0 et en +¥ du gain réel et de la phase réelle, soit on cherche des équivalents directement sur la fonction de transfert.

1^ère méthode : équivalents à partir des fonctions de gain et de phase réels.

Asymptote sur le diagramme de gain :

H ( jw) _dB= 20LogK – 20 Log 1 +t ² w² est la fonction du ga in (en dB) réelle

équivalent lorsque w ® 0 : on peut négliger le terme en t ²w² devant1.Donc :

	H ( jw)	; 20LogK	, c’est une droite horizontale d’ordonnée 20LogK dB.
	H ( jw)	; 20LogK	, c’est une droite horizontale d’ordonnée 20LogK dB.
		{
		^dB w ® 0		Ó EduKlub S.A.
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équivalent lorsque w ® ¥ : on peut négliger le terme en 1devant t ²w ² .Donc :

H ( jw)	; 20LogK – 20Logtw , soit, mis en forme différemment pour faire
	{
	^dBw ® ¥

clairement apparaître la pente de la droite :

	H ( jw)	; 20LogK – 20 Logt			-20	Logw	c’est une
	H ( jw)	; 20LogK – 20 Logt			-20	Logw	c’est une
		{			{
		^dBw ® ¥		pentedeladroiteasymp to te
droite de pente -20 ^dB			décade	passant par le point	(w = 1;	20LogK – 20Logt ).
			décade

Intersection entre les deux asymptotes :

On cherche la pulsation dite pulsation propre du système notée w _p pour laquelle les deux asymptotes ont des valeurs égales. L’équation permettant de déterminer w _p est donc :

20LogK = 20LogK – 20Logt – 20Logw _p .

Soit 20Logw _p = -20Logt ; d’où :w _p = _t

Explication sur la pente de la droite et la notion de décade :

Un décade est une plage fréquentielle contenue entre une pulsation w₀ et 10 fois sa valeur : 10w₀ . Donc les deux points qui correspondent à ces pulsations sur l’asymptote sont : (w₀ ; 20LogK – 20Logt – 20Logw₀ )et

æ		ö
ç	-20Log (10w₀ )	÷
ç 10w₀ ;20LogK – 20Logt	-20Log (10w₀ )	÷. Ils y a donc un écart de -20 dB entre
ç	1442443	÷
ç	= – 20Logw – 20	÷
è	0	ø

les deux points séparées d’une décade, d’où la pente de -20 ^dB _décade .

Asymptote sur le diagramme de phase :

La fonction de phase réelle est définie par	tan j =	–tw	;cosj =	1			;sinj =		–tw
	1			1+ t ²w ²				1+t ²w²

(w) = – arctan [tw]
équivalent lorsque w ® 0 : j (w ) » 0°.Donc, on a une asymptote horizontale à 0°

Ø	équivalent lorsque w ® ¥	(	)		p	(		)
		: j w		» –	p		– 90°		.Donc, on a une asymptote
		: j w		» –			– 90°		.Donc, on a une asymptote
				2

horizontale à -90°

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Comme	æ	ö	æ	1	ö	= -arctan (1) = –	p	(- 45°)	, on relie les deux asymptotes qui sont
Comme	j ç w	÷	= j _ç		÷	= -arctan (1) = –	4	(- 45°)	, on relie les deux asymptotes qui sont
	è	p _ø	è t		ø		4

normalement parallèles (puisque toutes les deux horizontales) au niveau de la pulsation propre

du système w _p = _t .

2^ème méthode : équivalents à partir de la fonction de transfert :

On cherche des équivalents de la fonction de transfert de la forme

pⁿ

Fonction de transfert équivalente pour w ® 0 , c’est à dire pour p ® 0 (puisque p = jw )

H ( p ) =	K	équivalentà	K	soit	K
H ( p ) =		équivalentà	1	soit		0
1 +t p		14243	1		p	0
		quand p ® 0			p
		quand p ® 0

On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 20LogK pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)
On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® 0 à 0° pour la courbe de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

Fonction de transfert équivalente pour w ® ¥ , c’est à dire pour p ® ¥ (puisque p = jw )

	K			K		K
H ( p) =	K	équivalentà		K	soit	t
H ( p) =	+t p	équivalentà	t p		soit	1
1	+t p	14243	t p			1
		quand p ® ¥				p
		quand p ® ¥

On retrouve donc l’asymptote de pente -20dB/décade pour w ® ¥ à

20Log ^K_t – (20 ´ 1)Logw = 20LogK – 20Logt – 20Logw pour la courbe de gain en dB (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

ü On retrouve donc l’asymptote horizontale pour w ® ¥ à – ^p (-90°) pour la courbe 2

de phase (d’après les résultats démontrés paragraphe 1.3.3)

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Graphiquement cela donne les diagrammes asymptotiques schématiques suivants :

20LogK	^H dB	(w)

Pente : -20 dB / décade

0°		w _p =	1
0°	j w	w _p =	t
	(	)

-90°

2.5 Diagrammes de Bode d’un premier ordre

Asymptote horizontale

à 20LogK

H _dB (w)

20 – 3= 17dB

Courbe de Gain en

dB réelle.

Pulsation de coupure à -3dB ou bande

passante à -3dB : w _c _-3_dB = w _p = _t

Asymptote de pente : -20 dB/décade, d’équation :

^wc 0

20LogK – 20Logt – 20Logw

w	c -3dB	= w	p	= ¹
					1 décade
				t

w (r a d s^-1 )

(w )

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Asymptote à 0°

^æ_ç w_p = _t¹ ^ö_÷ = – arctan (1) = – 45°

èø

Courbe réelle de phase

Asymptote à – ^p

-90°

w (rad s^-1 )

Justification de la bande passante à -3dB :

La pulsation de coupure à -3dB ou bande passante à -3dB est telle que :

20 LogK – H ( jw_c_-3_dB ) _dB= 3dB , soit pour un premier ordre :

20LogK – 20LogK + 20Log 1+ t ²w_c²_-3_dB = 3

20Log 1 + t ²w_c²_-3_dB

6 ö

2 2

=10

Þ 1

; 2

2 2

= 1

¹⁺ ^{t w}c -3dB

^wc– 3 dB

= 10

^Þ^{t w}c -3dB

D’où :

= w

c -3 dB

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